Champs de Phases en Mécanique

Quiberon 4-10 sept. 2022

11^ème école d'été de mécanique théorique à destination des doctorants et chercheurs en Mécanique

Intitulés et résumés des cours

Alphonse Finel
La méthode des champs de phase : formulation « classique », formulation « étroite » et quelques applications.

La méthode des champs de phase : formulation « classique », formulation « étroite; » et quelques applications.
La méthode des champs de phase est utilisée pour prédire les évolutions de microstructures dans des domaines extrêmement variés. Elle consiste à introduire une série de champs qui représentent les propriétés matérielles d'intérêt, telles que les concentrations d'espèces atomiques, l'état d’ordre local, les champs de déplacements, la déformation plastique, l’état d’endommagement… Ces champs identifient localement l’état du système en un point donné (présence d’une phase, d’une dislocation, d’une cavité…) mais aussi les interfaces, qui sont associées aux variations rapides mais continues des champs. La puissance de la méthode réside dans le fait qu'elle évite le difficile problème du suivi des interfaces, qu’elle est exempte de toute contrainte topologique et qu’elle peut être formulée dans un cadre thermodynamique général qui permet de coupler de manière cohérente divers mécanismes physiques en interaction.

Dans une première partie du cours, nous montrerons la formulation « classique » de la méthode des champs de phase et sa mise en œuvre dans diverses situations : transformations de phase diffusives, transformations displacives, plasticité (discrète et continue), cavités, fracture… Dans un cas simple (séparation de phase dans un alliage binaire où le seul paramètre d’ordre est la concentration locale), nous montrerons comment le modèle champs de phase (ici, l’équation de Cahn-Hilliard) peut être obtenu par changement d’échelle à partir d’une dynamique discrète écrite à l’échelle atomique.

La formulation « classique » mentionnée ci-dessus souffre d’une difficulté d’ordre numérique. Afin de conserver le caractère continu de la théorie, l’implémentation informatique d’une méthode de champ de phase nécessite en effet l’introduction d’un schéma de discrétisation avec un pas de grille suffisamment petit devant la plus petite longueur caractéristique, c’est-à-dire l’épaisseur des interfaces. Cette contrainte « d’interfaces diffuses » limite sévèrement les dimensions linéaires accessibles.

Dans la 2nde partie du cours, nous présenterons une nouvelle formulation de la méthode des champs de phase, la S-PFM pour « Sharp Phase Field Method », dans laquelle les interfaces sont résolues avec un point de grille seulement, sans aucun frottement sur la grille, ce qui permet de multiplier par environ 1 ordre de grandeur les dimensions linéaires accessibles ou, corrélativement, de diviser par environ 3 ordres de grandeur les ressources informatiques nécessaires. Nous illustrerons cette nouvelle méthode dans deux situations (séparation de phase diffusive, croissance de polycristaux).

Enfin, en lien avec cette formulation de la méthode dans laquelle les interfaces sont très étroites, nous présenterons, dans la 3ème partie du cours, une série de nouveaux solveurs mécaniques capables de prendre en compte de fortes hétérogénéités matérielles (tenseurs de déformation propres discontinus, cavités…). Ces solveurs, intrinsèquement discrets, sont numériquement très efficaces car basés sur des transformées de Fourier Rapides. Par ailleurs, ils ont été construits de manière à être inconditionnellement stables, contrairement aux solveurs spectraux habituels. Ces nouveaux solveurs sont donc exempts des artefacts numériques habituellement rencontrés (phénomène de Gibbs dû aux discontinuités matérielles, oscillation haute fréquence dues à la fréquence de coupure de Nyquist).
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Samuel Forest
Évolution des microstructures et comportement élastoviscoplastique des matériaux : Approche phénoménologique par la théorie des champs de phase.

Évolution des microstructures et comportement élastoviscoplastique des matériaux : Approche phénoménologique par la théorie des champs de phase.
La théorie des champs de phase pour l'évolution des microstructures couplée à la mécanique sera formulée en combinant les concepts de la mécanique des milieux continus généralisés (en particulier les notions de contraintes généralisées et la méthode des puissances virtuelles) et le cadre des matériaux standards généralisés (potentiel d'énergie libre et pseudo-potentiel de dissipation). L'approche permet de formuler les lois de comportement couplées et le problème aux limites mêlant diffusion d'espèces chimiques, changements de phase et comportement mécanique élastoviscoplastique. Les premières illustrations concernent les équations de Allen-Cahn et de Cahn-Hilliard gouvernant la diffusion et changements de phase, en suivant la présentation due à Gurtin-Fried. Elles seront ensuite couplées aux aspects mécaniques dans le cadre des transformations finies. Ces modèles intègrent l'influence des gradients de concentration et de paramètres d'ordre (champs de phase) considérés comme identification phénoménologique des phases. Ils mettent en jeu des interfaces diffuses entre phases, associées à des longueurs caractéristiques et des énergies de surface respectives.

Le comportement des interfaces diffuses sera décrit par une approche combinant les méthodes d'homogénéisation, bien connues en physique et mécanique des matériaux hétérogènes, et les variables de champs de phase. Différents schémas d'homogénéisation (Voigt, Reuss, laminé, etc.) sont disponibles et leur comportement asymptotique, transition vers les interfaces parfaites, doit être systématiquement étudié. Les exemples concerneront le couplage mécanique-oxydation d'une part et l'influence de la plasticité sur l'évolution morphologique des phases dans des alliages métalliques, d'autre part.

Dans le cas de la plasticité cristalline, on s'intéressera enfin à un modèle de champs de phase décrivant la migration des joints de grains et la recristallisation des métaux et alliages. Deux champs de phase sont considérés : un paramètre d'ordre indiquant la cristallinité du milieu, distincte dans les joints de grains et au cœur des grains, ainsi que l'orientation cristalline dont le gradient permet d'estimer le tenseur densité de dislocations. On fera alors le lien entre l'approche par champs de phase de la migration des joints de grains et la mécanique des milieux de Cosserat.

Les applications présentées dans ce cours résultent d'une coopération étroite avec Kais Ammar (École des Mines de Paris) et Benoît Appolaire (Institut Jean Lamour) et des premiers échanges récents avec Sébastien Brisard (École des Ponts).
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Flaviana Iurlano
Champs de phase et convergence variationnelle.

Champs de phase et convergence variationnelle.
Le cadre général de ce cours, correspondant à plusieurs problèmes posés par la mécanique, est celui d'un problème de minimisation dont les solutions peuvent présenter des interfaces ou discontinuités. On peut alors souhaiter approcher un tel problème par des problèmes de minimisation « régularisés », dont les solutions sont toujours des fonctions régulières.

L'outil privilégié pour étudier ce type d'approche est la Γ-convergence (De Giorgi 1970), qui est l'une des notions les plus importantes apparues au cours des dernières décennies dans le calcul des variations. Il s'agit d'une notion de convergence pour les suites de problèmes de minimum, qui s'est avérée être très naturelle et très flexible. En fait, elle peut être utilisée dans une grande variété de situations où une limite variationnelle intervient ou un processus d'approximation est nécessaire.

Après une présentation des principales propriétés de la Γ-convergence, on verra deux exemples d'applications. La première application est la théorie du gradient des transitions de phase dans l'équilibre d'un fluide isotherme, précisément le résultat de Modica et Mortola (1977). Ceci est l'exemple le plus simple qui montre un changement de modèle dramatique dans le passage à la limite, en passant par des modèles qui n'impliquent que des fonctions (suffisamment) régulières à un modèle qui ne fait participer que des fonctions discontinues.

La deuxième application est à la mécanique de l'endommagement et de la rupture. La fonctionnelle de Mumford-Shah, introduite en Segmentation d'Image, est utilisée pour modéliser la rupture fragile de Griffith dans le cas anti-planaire. Le problème de minimum associé rentre dans la classe des problèmes à discontinuité libre, où l'inconnue est une paire (u,K), avec K une hypersurface fermée (suffisamment régulière) et u une fonction (suffisamment régulière) définie hors de K. La fonctionnelle de Mumford-Shah, ainsi que toutes les fonctionnelles impliquées dans les problèmes à discontinuité libre, présente des inconvénients : par exemple, des difficultés numériques émergent dans la détection de la surface de discontinuité inconnue. Pour contourner ces inconvénients, des efforts considérables ont été déployés pour fournir des approximations variationnelles avec des énergies différentiables définies sur des fonctions régulières. On présentera l'approximation donnée par Ambrosio et Tortorelli (1992), qui suit l'idée de la théorie du gradient des transitions de phase en introduisant une variable v auxiliaire d'approximation. Ces modèles régularisés peuvent être interprétés comme des modèles d'endommagement, où v représente la variable d'endommagement.
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Alain Miranville
L'équation de Cahn-Hilliard. Applications à la mécanique des fluides.

L'équation de Cahn-Hilliard. Applications à la mécanique des fluides.
L'équation de Cahn-Hilliard a été proposée à la fin des années 1950 afin de décrire la séparation de phase dans des alliages. Elle a depuis été utilisée dans de multiples applications, en physique, en mécanique, en biologie, en médecine, et même en écologie et en astronomie.

Dans ce cours, nous discuterons de questions liées à la modélisation, la question des conditions aux limites et les propriétés mathématiques de l'équation.

Un des focus du cours, sera les applications à la mécanique des fluides. On présentera en particulier quelques modèles importants, couplant l'équation de Cahn-Hilliard à des équations de la mécanique des fluides (Navier-Stokes notamment). Là encore, la question des conditions aux limites est cruciale. On discutera également des difficultés mathématiques liées à ces équations.
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Prérequis

- Équations de base de la mécanique
- Algèbre linéaire et calcul différentiel
- Bases des méthodes numériques

Les cours seront conçus de façon à ce que la mise à niveau préliminaire ne soit pas nécessaire. Ils seront ajustés au niveau des connaissances réelles des stagiaires. Les notions mathématiques avancées seront introduites au fur et à mesure des besoins.

Programme

L'arrivée des participants est prévu dimanche le 4 septembre vers le cocktail de bienvenue et le dîner. Le dernier cours aura lieu samedi le 10 septembre avant le déjeuner.